Testes para duas populações
Testes para duas populações
É comum que testarmos relações entre duas populações. Por exemplo, considere que gado pode ser alimentado por dois tipos de ração: \(A\) ou \(B\). Neste caso, poderíamos testar, por exemplo, se o gado alimentado com a ração \(B\) é, em média, mais pesado que aquele alimentado com a ração \(A\).
Para testarmos este tipo de hipótese, obtemos uma amostra de cada uma das populações. Formalmente, consideramos que \(X_{1,1},\ldots,X_{1,n}\) são independentes e \(X_{1,i} \sim N(\mu_1,\sigma^2_1)\) e \(X_{2,1},\ldots,X_{2,m}\) são independentes e \(X_{2,i} \sim N(\mu_2, \sigma^2_2)\). Cada \(X_{1,i}\) é uma observação da primeira observação e cada \(X_{2,i}\) é uma observação da segunda população. Neste contexto, é comum testarmos \[ \begin{align*} H_0: & \begin{cases} \text{(a) } \mu_1 - \mu_2 \leq 0 & \\ \text{(b) } \mu_1 - \mu_2 \geq 0 & \\ \text{(c) } \mu_1 - \mu_2 = 0 & \end{cases} \end{align*} \] O teste a ser realizado depende das suposições sobre as populações. A seguir, estudamos algumas suposições que são utilizadas com frequência
Populações independentes com mesma variância
Considere que as observações da primeira população são independentes das observações da segunda população. Além disso, também suponha que ambas as populações tem a mesma variância, isto é, \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2\). Neste caso, é razoável rejeitarmos as hipóteses em (a), (b) e (c), quando, respectivamente, \[ \begin{cases} \text{(a) } \bar{X}_1 - \bar{X}_2 > k_a \\ \text{(b) } \bar{X}_1 - \bar{X}_2 < k_b \\ \text{(c) } |\bar{X}_1 - \bar{X}_2| > k_c \end{cases} \] Para controlar o erro tipo I em \(\alpha\), note que \(\bar{X}_1-\bar{X}_2 \sim N\left(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma^2}{n}+\frac{\sigma^2}{m}\right)\). Portanto, se definirmos \[ \begin{align*} \bar{X} &= \frac{X_{1,1}+\ldots,X_{1,n}+X_{2,1}+\ldots+X_{2,m}}{n+m} \\ S^2 &= \frac{(X_{1,1}-\bar{X})^2+\ldots+(X_{1,n}-\bar{X})^2 +(X_{2,1}-\bar{X})^2+\ldots+(X_{2,n}-\bar{X})^2}{n+m} \end{align*} \] então obtemos que, sob \(\mu_1 = \mu_2\), \[ \frac{\sqrt{nm(n+m-1)}(\bar{X}_1-\bar{X}_2)}{(n+m)S} \sim T_{n+m-1} \] Assim, o erro tipo I é controlado em \(\alpha\) se rejeitamos \(H_0\) nas situações (a), (b) e (c), respectivamente quando \[ \begin{cases} \text{(a) } \bar{X}_1 - \bar{X}_2 > \frac{qt(1-\alpha, df=n+m-1)S(n+m)}{\sqrt{nm(n+m-1)}} \\ \text{(b) } \bar{X}_1 - \bar{X}_2 < \frac{qt(\alpha, df=n+m-1)S(n+m)}{\sqrt{nm(n+m-1)}} \\ \text{(c) } |\bar{X}_1 - \bar{X}_2| > \frac{qt(1-0.5\alpha, df=n+m-1)S(n+m)}{\sqrt{nm(n+m-1)}} \end{cases} \]
Populações independentes com variâncias diferentes
Se \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\), então não é possível combinar as amostras de cada população para realizar uma única estimativa da variância.