Regiões críticas

Similarmente às aulas passadas, desejamos rejeitar \(H_0\) para os casos (a), (b) e (c) quando, respectivamente, \[ \begin{cases} (a) \text{ } \bar{X}-\mu_0 > k_{a} & \\ (b) \text{ } \bar{X}-\mu_0 < k_{b} & \\ (c) \text{ } |\bar{X}-\mu_{0}| > k_{c} \end{cases} \]

Nestes testes, determinamos os valores de \(k_{a}\), \(k_{b}\) e \(k_{c}\) utilizando a condição de que a probabilidade de erro tipo \(I\) é \(\alpha\). Para usar esta condição, em aulas anteriores padronizamos a quantidade \(\bar{X}-\mu_0\) dividindo-a por \(\frac{\sigma}{n}\). Contudo, agora consideramos que \(\sigma\) é desconhecido e, portanto, não é possível realizar esta padronização. Ao contrário, utilizamos a padronização alternativa de que, quando \(\mu = \mu_0\), \(\frac{\sqrt{n-1}(\bar{X}-\mu_0)}{S} \sim T_{n-1}\). Assim, tomando \(\mu = \mu_0\), calculamos a probabilidade de erro tipo I da seguinte forma \[ \begin{align*} P(\bar{X}-\mu_0 > k_a) &= P\left(\frac{\sqrt{n-1}(\bar{X}-\mu_0)}{S} > \frac{\sqrt{n-1}k_a}{S}\right) \\ &= P\left(T_{n-1} > \frac{\sqrt{n-1}k_a}{S} \right) \\ &= 1- pt\left(\frac{\sqrt{n-1}k_a}{S}, df = n-1\right) \end{align*} \] Semelhamentemente, obtemos \[ \begin{align*} P(\bar{X}-\mu_0 < k_b) &= pt\left(\frac{\sqrt{n-1}k_b}{S}, df = n-1\right) \\ P(|\bar{X}-\mu_0| > k_c) &= 2pt\left(-\frac{\sqrt{n-1}k_c}{S}, df = n-1\right) \end{align*} \] Os valores de \(k_a\), \(k_b\) e \(k_C\) são determinados de forma que, sob a hipótese nula, a probabilidade de rejeição seja \(\alpha\). Assim, por exemplo, para \(H_0: \mu \leq \mu_0\), obtemos a equação \[ \begin{align*} 1- pt\left(\frac{\sqrt{n-1}k_a}{S}, df = n-1\right) &= \alpha \\ pt\left(\frac{\sqrt{n-1}k_a}{S}, df = n-1\right) &= 1-\alpha \\ \frac{\sqrt{n-1}k_a}{S} &= qt(1-\alpha, df=n-1) \\ k_a &= \frac{qt(1-\alpha, df=n-1) S}{\sqrt{n-1}} \end{align*} \] Similarmente, obtemos \[ \begin{align*} k_b &= \frac{qt(\alpha, df=n-1) S}{\sqrt{n-1}} \\ k_c &= \frac{qt(1-0.5\alpha, df=n-1) S}{\sqrt{n-1}} \end{align*} \] Portanto, as hipóteses em (a), (b) e (c) são rejeitadas, respectivamente, quando \[ \begin{cases} \text{(a) } \bar{X}-\mu_0 > \frac{qt(1-\alpha, df=n-1) S}{\sqrt{n-1}} \\ \text{(b) } \bar{X}-\mu_0 < \frac{qt(\alpha, df=n-1) S}{\sqrt{n-1}} \\ \text{(c) } |\bar{X}-\mu_0| > \frac{qt(1-0.5\alpha, df=n-1) S}{\sqrt{n-1}} \end{cases} \]

Exemplo

Considere que um pesquisador inexperiente com o paquímetro mede um objeto \(9\) vezes e observa os valores em milímetros:

dados = c(1.1, 1.3, 1.3, 1.4, 1.6, 1.8, 1.8, 1.9, 2.2)

Considere que o pesquisador deseja testar a um nível de \(\alpha = 0.01\) se o cumprimento do objeto é 1.5 milímetros, isto é, \(H_0: \mu_0 = 1.5\). Para tal, ele usará a região critica identificada em (c), que pode ser calculada no R da seguinte forma

 mu_0 = 1.5
 alpha = 0.01
 n = length(dados)
 S = sd(dados) * sqrt(n-1)/sqrt(n)
 media = mean(dados)
 lado_esquerdo = abs(media - mu_0)
 lado_esquerdo

## [1] 0.1

 lado_direito = qt(1-0.5*alpha, df=n-1)*S/sqrt(n-1)
 lado_direito

## [1] 0.3954362

 lado_esquerdo > lado_direito

## [1] FALSE

Note que o cálculo em lado_esquerdo no código corresponde a \(|\bar{X}-\mu_0|\) e o lado_direito no código corresponde a \(\frac{qt(1-0.5\alpha, df=n-1) S}{\sqrt{n-1}}\). Como obtemos que é falso que o lado esquerdo é maior que o lado direito, não rejeitamos a hipótese nula.

Este teste também já está implementado no R e podemos obter o resultado que buscamos digitando diretamente

t.test(dados, 
       alternative = "two.sided", 
       mu = 1.5, 
       conf.level = 1-alpha)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  dados
## t = 0.84853, df = 8, p-value = 0.4208
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 1.5
## 99 percent confidence interval:
##  1.204564 1.995436
## sample estimates:
## mean of x 
##       1.6

Como o p-valor é \(0.42\) e \(\alpha = 0.05\) é menor que o p-valor, não rejeitamos a hipótese de que \(H_0: \mu = 1.5\).