Exemplo: normal com variância conhecida

Considere que \(X_{1},\ldots,X_{n}\) são observações independentes e tais que \(X_{i} \sim N(\mu,\sigma_0^2)\), onde \(\sigma_0^2\) é conhecido. Por exemplo, \(X_i\) pode ser o peso da \(i\)-ésima vaca alimentada com uma determinada ração. Deseja-se provar que o peso médio de vacas alimentadas com esta ração é maior do que \(500 kg\), ou seja, a hipótese nula é \(H_0: \mu \leq 500\).

Para capturar o quanta a evidência os dados trazem contra \(H_0\), podemos calcular o quanto a média amostral supera o valor de \(\mu_0\), isto é, \(\bar{X}-\mu_0\). Gostaríamos de rejeitar a hipótese nula quando \(\bar{X}\) é muito maior que \(\mu_0\), isto é, \(\bar{X}-\mu_0 > c\), onde \(c\) é escolhido de forma a controlar o erro tipo I. A seguir, veremos como realizar este controle.

O erro tipo I é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Isto é, para obter o erro tipo I, queremos calcular \(P(\bar{X} - \mu_0 > c)\) sob \(H_0\). Especificamente, gostaríamos que \(P(\bar{X} - \mu_0 > c) \leq \alpha\) sob \(H_0\). Para realizar esta desigualdade, note que decorre das propriedades da distribuição normal que, sob o valor extremo o extremo da hipótese nula (\(\mu = \mu_0\)), temos que \(\bar{X}-\mu_0 \sim N\left(0,\frac{\sigma_0^2}{n}\right)\). Assim, utilizando a padronização da distribuição normal, obtemos que se \(\mu = 500\), \[ Z := \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma_0^2}{n}}} \sim N(0, 1) \] Portanto, \[ \begin{align*} P(\bar{X}-\mu_0 > c) &= P\left(\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\frac{\sigma_0^2}{n}}} > \frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ &= P\left(Z > \frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ &= 1 - P\left(Z \leq \frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ &= 1 - \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \end{align*} \] Para controlar o erro tipo \(I\), desejamos que sob \(H_0\), \(P(\bar{X}-\mu_0 > c) = \alpha\). Utilizamos as equações acima, obtemos \[ \begin{align*} \alpha &= 1 - \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ 1- \alpha &= \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right) \\ \text{qnorm}(1-\alpha) &= \text{qnorm}\left(\text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0}\right)\right) \\ \text{qnorm}(1-\alpha) &= \frac{\sqrt{n}c}{\sigma_0} \\ \frac{\text{qnorm}(1-\alpha)\sigma_0}{\sqrt{n}} &= c \end{align*} \] Assim, para controlar o erro tipo I em \(\alpha\), rejeitamos a a hipótese nula \(H_0:\mu \leq \mu_0\) quando \[\bar{X}-\mu_0 > \frac{\text{qnorm}(1-\alpha)\sigma_0}{\sqrt{n}}.\]

Por exemplo, considere que observamos \(9\) vacas alimentadas com a ração de interesse. Sabemos que o desvio padrão nos pesos destas vacas é de \(50 kg\) e, portanto, o peso de cada vaca é \(X_i \sim N(\mu, 50^2)\). O peso médio destas foi de \(530\). Se desejamos testar a hipótese \(H_0: \mu \leq 500\) a um nível de \(\alpha = 5\%\), podemos realizar os cálculos no R da seguinte forma:

mu0 = 500
n = 9
sigma0 = 50
media = 530
alpha = 0.05
qnorm(1-alpha)

## [1] 1.644854

c = qnorm(1-alpha) * sigma0 / sqrt(n)
c

## [1] 27.41423

media - mu0 > c

## [1] TRUE

Como a média amostral supera \(c\) a um nível de \(0.05\), rejeitamos a hipótese nula. Note que, se exercemos um maior controle sobre o erro tipo I, então não rejeitaremos a hipótese nula. Por exemplo, se tomássemos \(\alpha = 0.01\), então o teste de hipótese seria mais conservador e não rejeitaríamos a hipótese nula.

alpha = 0.01
qnorm(1-alpha)

## [1] 2.326348

c = qnorm(1-alpha) * sigma0 / sqrt(n)
c

## [1] 38.77246

media - mu0  > c

## [1] FALSE

p-valor na normal com variância conhecida

No exemplo do teste de hipótese para a média da normal com variância conhecida, lembre que \(H_0: \mu \leq \mu_0\) é rejeitado para todos os valores de \(\alpha\) tais que:

\[\bar{X}-\mu_0 > \frac{\text{qnorm}(1-\alpha)\sigma_0}{\sqrt{n}}\] Portanto, o menor valor de \(\alpha\) tal que \(H_0\) é rejeitado, \(\alpha^*\) é tal que \[\bar{X}-\mu_0 = \frac{\text{qnorm}(1-\alpha^*)\sigma_0}{\sqrt{n}}\] Com algumas manipulações aritméticas podemos determinar o valor de \(\alpha^*\), isto é, o p-valor: \[ \begin{align*} \bar{X}-\mu_0 &= \frac{\text{qnorm}(1-\alpha^*)\sigma_0}{\sqrt{n}} \\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0} &= \text{qnorm}(1-\alpha^*) \\ \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0}\right) &= \text{pnorm}(\text{qnorm}(1-\alpha^*)) \\ \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0}\right) &= 1 - \alpha^* \\ 1 - \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0}\right) &= \alpha^* \end{align*} \] Portanto, o p-valor neste caso é o \(\alpha^*\) tal que \[ \alpha^* = 1 - \text{pnorm}\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)}{\sigma_0}\right) \]