Normal com variância conhecida

Considere que \(X_{1},\ldots,X_{n}\) são observações independentes e tais que \(X_{i} \sim N(\mu,\sigma_0^2)\), onde \(\sigma_0^2\) é o desvio padrão conhecido das observações. Gostaríamos de utilizar estas observações para determinar \(l_1(X)\) e \(l_2(X)\) de tal forma que

\[ P(l_1(X) \leq \mu \leq l_2(X)) = 1-\alpha \] Para tal, note que \(\bar{X} \sim N\left(\mu,\frac{\sigma_0^2}{n}\right)\) e, portanto, decorre da padronização da distribuição normal que \[ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma_0} = \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma_0^2}{n}}} \sim N(0,1) \] Como \(Z = \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma_0}\) tem distribuição normal padrão, podemos determinar \(c_1\) e \(c_2\) de tal forma que \(P(Z < c_1) = 0.5\alpha\) e \(P(Z > c_2)=0.5\alpha\). No R, o comando qnorm(\(\alpha\)) determina o valor \(z\), tal que \(P(Z < z) = \alpha\). Assim, as constantes \(c_1\) e \(c_2\) podem ser obtidas no R por meio dos comandos qnorm(\(0.5\alpha\)) e qnorm(\(1-0.5\alpha\)). Concluímos que \[ \begin{align*} P\left(qnorm(0.5\alpha) \leq \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma_0} \leq qnorm(1-0.5\alpha)\right) &= 1-\alpha \\ P\left(\frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} qnorm(0.5\alpha) \leq (\bar{X}-\mu) \leq \frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} qnorm(1-0.5\alpha)\right) &= 1 - \alpha \\ P\left(\bar{X} - \frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} qnorm(1-0.5\alpha) \leq \mu \leq \bar{X} - \frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} qnorm(0.5\alpha) \right) &= 1 - \alpha \end{align*} \] Portanto, se tomarmos \(l_1(X) = \bar{X} - \frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} qnorm(1-0.5\alpha)\) e \(l_2(X) = \bar{X} - \frac{\sigma_0}{\sqrt{n}} qnorm(0.5\alpha)\), então \([l_1(X),l_2(X)]\) é um intervalo de confiança \(1-\alpha\) para \(\mu\).

 n = 9
 media = 8
 alpha = 0.05
 sigma = 1
 print(qnorm(1-0.5*alpha))

## [1] 1.959964

 l_1 = media - sigma/sqrt(n) * qnorm(1-0.5*alpha)
 print(l_1)

## [1] 7.346679

 print(qnorm(0.5*alpha))

## [1] -1.959964

 l_2 = media - sigma/sqrt(n) * qnorm(0.5*alpha)
 print(l_2)

## [1] 8.653321

Normal com variância desconhecida

Quando \(X_1,\ldots,X_n\) são independentes e \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\), sendo tanto \(\mu\) quanto \(\sigma\) desconhecidos, não é possível construir o intervalo de confiança da mesma forma que na seção anterior.

Neste caso, usamos o fato de que \[ \frac{\sqrt{n-1}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim T_{n-1} \] onde \(T_{n-1}\) designa uma distribuição \(T_{n-1}\) de Student com \(n-1\) graus de liberdade. Notando que \(P(T_{n-1} < qt(\alpha,n-1)) = \alpha\), podemos obter por raciocínio análogo ao desenvolvido na normal com variância conhecida que \[ P\left(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n-1}}qt(1-0.5\alpha,n-1) \leq \mu \leq \bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n-1}}qt(0.5\alpha,n-1) \right) = 1 \] Assim, se \(l_1(X) = \bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n-1}}qt(1-0.5\alpha,n-1)\) e \(l_2(X) = \bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n-1}}qt(0.5\alpha,n-1)\), então \([l_1(X),l_2(X)]\) é um intervalo de confiança \(1-\alpha\) para \(\mu\).

Interpretação

Intervalos de confiança são interpretados incorretamente com frequência. Por exemplo, considere que, antes que a amostra seja observada temos \(P(l_1(X) < \mu < l_2(X)) = 95\%\), e com base na amostra calculamos \(l_1(x) = 0.5\) e \(l_2(x)=0.7\). Dizemos que \([0.5, 0.7]\) tem confiança 95% para \(\mu\). Também é comum que se interprete que, com probabilidade 95%, \(\mu\) está em \([0.5,0.7]\). Contudo, está interpretação está errada!

Note que a probabilidade de 95% no exemplo é calculada antes de a amostra ter sido coletada. Em outras palavras, podemos interpretar que, se gerarmos vários bancos de dados independentes da mesma população, então \(\mu\) pertencerá a cerca de 95% dos intervalos gerados por meio destes bancos de dados. Contudo, após um particular banco de dados ser coletado, ou \(\mu\) está dentro do intervalo calculado ou não está. A confiança de um particular intervalo gerado não é a probabilidade de que o parâmetro pertença a ele. Para corrobar a interpretação correta, o código abaixo gera \(10000\) bancos de dados com \(100\) observações normais de média \(\mu=2\) e desvio padrão \(\sigma=4\) e calcula a proporção de bancos de dados em que \(\mu\) pertence ao intervalo com confiança de \(95\%\) obtido.

mu = 2
sigma = 4
n = 100
num_experimentos = 10000
sucessos = 0
for(ii in 1:num_experimentos)
{
  dados = rnorm(n, mu, sigma)
  l1 = mean(dados) - sigma/sqrt(n) * qnorm(1-0.5*alpha)
  l2 = mean(dados) - sigma/sqrt(n) * qnorm(0.5*alpha)
  sucessos = sucessos + (mu > l1 & mu < l2)
}
sucessos/num_experimentos

## [1] 0.952