Média

A média de uma variável, comumente designada por \(\bar{X}\), é obtida somando todas as observações desta e dividindo o resultado pelo número total de observações. Este procedimento é sintetizado da seguinte forma:

\[ \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{X_i}}{n} = \frac{X_1 + \ldots + X_n}{n} \] Nesta expressão, o termo \(\sum_{i=1}^{n}{X_i}\) é traduzido como “em \(X_i\) substituta \(i\) por todos os números entre \(1\) e \(n\) e some os valores encontrados”. Em particular, o símbolo “\(\sum\)” é chamado de somatória.

No R, a média pode ser calculada usando o comando mean(). Por exemplo, a média do comprimento de pétalas para a amostra de flores do gênero iris pode ser calculada da seguinte forma:

mean(iris$Petal.Length)

## [1] 3.758

Mediana

A mediana de uma variável é um número tal que há o mesmo número de observações maiores e menores do que ele. No R, a mediana é calculada pela função median().

median(iris$Petal.Length)

## [1] 4.35

A mediana é menos afetada por valores extremos do que a média. Por isso, é comum dizer que a mediana é uma medida robusta. Este conceito é ilustrado a seguir.

 dados = c(0, 0.1, 0.1, 0.2, 0.25, 0.5, 0.7, 0.9, 1.1, 10000)
 c(mean(dados), median(dados))

## [1] 1000.385    0.375

Observamos que, dos 10 dados, 9 estão concentrados próximo a 0 e 1 tem o valor 10.000. Enquanto que a média de aproximadamente 1.000 é afetada pelo valor extremo, a mediana de 0.375 não o é. É comum chamarmos observações atípicas, como o valor 10.000 neste caso, de outliers.

Observação: Note que como no exemplo acima existe um número par de dados, a mediana foi tomada como a média entre 0.25 e 0.5, as observações 5 e 6 em ordem crescente.

Moda

A moda é o valor mais frequente observado nos dados. Como em variáveis contínuas tipicamente não observamos valores repetidos, a moda não é usado nestes casos. Por outro lado, dentre média, mediana e moda, a moda é a única medida resumo que pode ser aplicada a variáveis nominais. Considere que observamos os dados: azul, azul, azul, vermelho, verde, verde. Observamos as cores azul, vermelho e verde respectivamente, 3, 1 e 2 vezes. Portanto, a cor azul é a mais frequente, sendo a moda desta variável.

Amplitude

A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor observado. Esta medida de variabilidade é fortemente influenciada por valores extremos nas observações, como outliers. O exemplo a seguir calcula a amplitude do comprimento das sépalas no banco de dados iris.

 max(iris$Sepal.Length) - min(iris$Sepal.Length)

## [1] 3.6

Variância e desvio padrão

Intuitivamente, podemos imaginar uma medida de variabilidade que calcule a média do quanto os dados desviam do centro. Se tomarmos como centro das observações a média, então podemos pensar no desvio da i-ésima observação como \(D_i = X_i-\bar{X}\). Contudo, esta medida de desvio apresenta um problema. Por exemplo, considere os dados: 0, 10, 20. A média das observações é 10 e os desvios são: -10, 0, 10. Assim, se tomarmos a média dos desvios obteremos o valor 0. O problema é que, ainda que o desvio de 0 e 20 sejam -10 e 10, estas observações estão igualmente distantes da média. Para corrigir este problema, podemos tomar a média dos desvios ao quadrado, isto é, a média de \(D_i^2 = (X_i-\bar{X})^2\). No exemplo apresentado, os desvios ao quadrado são 100, 0 e 100 e a média destes valores é \(\frac{200}{3}\). Neste caso, as observações -10 e 10 contribuem igualmente para a variabilidade dos dados em relação à média. Formalmente a variância, \(S^2\), é definida como:

\[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})^2}}{n} \]

Note que a variância não está na mesma escala das observações. Quando os desvios são elevados ao quadrado, a unidade de medida é alterada para o quadrado da unidade de medida original. Assim, para obter uma medida mais interpretável de varibilidade, é comum tomar a raiz quadrada da variância. Esta medida é chamada de desvio padrão, \(S\), e é definida como:

\[ S = \sqrt{S^2} \]

A variância e o desvio padrão para o comprimento das sépalas é calculado no R da seguinte forma:

c(var(iris$Sepal.Length), sd(iris$Sepal.Length))

## [1] 0.6856935 0.8280661

Para muitos tipos de dado, é comum que as observações se concentrem num intervalo de 2 desvios padrão para cada lado da média. Isto é, é comum que a maior parte das observações esteja no intervalo \([\bar{X}-2S,\bar{X}+2S]\). Neste sentido, este intervalo indica a faixa de observações tipicamente observadas. A formalização deste raciocínio será estudada em aulas futuras. No exemplo do comprimento das sépalas, obtemos o intervalo \([2.7,6.0]\).

Intervalo interquartílico

O percentil de ordem \(p\) de uma variável é um número tal que a quantidade de observações menores e maiores do que este número segue a proporção \(p\) e \(1-p\). Por exemplo, a mediana é o percentil de ordem \(0.5\). Dada a sua importância, os percentis de ordem 0.25, 0.5 e 0.75 também são chamados de \(1^o\), \(2^o\) e \(3^o\) quartis. No R, é possível obter o percentil de ordem \(p\) usando o comando quantile(dados, p). Este comando para os percentis de ordem 0.25, 0.5 e 0.75 para o comprimento de sépalas é ilustrado a seguir:

quantile(iris$Sepal.Length, c(0.25, 0.5, 0.75))

## 25% 50% 75% 
## 5.1 5.8 6.4

Por construção, aproximadamente metade dos dados estão entre o \(1^o\) e o \(3^o\) quartil, isto é, este também pode ser interpretado como um intervalo de valores tipicamente assumidos pelas observações. Por exemplo, no caso do comprimento das sépalas, obtemos o intervalo \([5.1, 6.4]\).

Alternativamente, podemos construir um intervalo mais conservador exigindo que, por exemplo, \(95%\) das observações estejam dentro dele. Este intervalo é obtido tomando os valores entre o percentil \(0.025\) e \(0.975\). No caso do comprimento das sépalas, obtemos o intervalo:

quantile(iris$Sepal.Length, c(0.025, 0.975))

##   2.5%  97.5% 
## 4.4725 7.7000

O tamanho da região em que as observações tipicamente caem é uma medida alternativa de variabilidade. Especificamente, a subtraindo o \(1^o\) quartil do \(3^o\) quartil obtém-se a medida chamada de intervalo interquartílico. No caso do comprimento das sépalas, o intervalo interquartílico é \(6.4-5.1=1.3\).